Pour déterminer la marge de gain, il faut d’abord calculer la fonction de transfert en boucle ouverte (OLT) du système. La fonction de transfert en boucle ouverte décrit la relation entre l’entrée et la sortie du système en l’absence de toute rétroaction. Une fois la fonction de transfert en boucle ouverte obtenue, nous pouvons tracer sa réponse en amplitude et en phase en fonction de la fréquence. La marge de gain est la quantité de gain à laquelle le déphasage de la BTA est de 180 degrés. À ce stade, le système est au bord de l’instabilité et tout gain supplémentaire le fera osciller.
Pour calculer la fonction de transfert en boucle fermée (CLT), nous devons tenir compte de l’effet de rétroaction sur le système. La CLT décrit la relation entre l’entrée et la sortie du système lorsqu’il y a rétroaction. Nous pouvons calculer la CLT à l’aide de la formule suivante :
CLT = OLT / (1 + OLT * rétroaction)
où rétroaction est la fonction de transfert de la boucle de rétroaction. Une fois que nous avons obtenu le CLT, nous pouvons tracer son amplitude et sa réponse en phase en fonction de la fréquence. Nous pouvons alors déterminer la marge de gain du système en boucle fermée en utilisant la même méthode que pour le système en boucle ouverte.
La détermination de la fréquence est une étape importante dans la conception des systèmes de contrôle, car la réponse du système dépend de la fréquence du signal d’entrée. Nous pouvons déterminer la fréquence d’un signal à l’aide d’un analyseur de fréquence tel qu’un analyseur de spectre ou un algorithme de transformée de Fourier. Ces outils nous permettent d’analyser le contenu fréquentiel d’un signal et de déterminer ses composantes fréquentielles dominantes.
Le choix de la fréquence d’échantillonnage est également important dans la conception des systèmes de contrôle, car il affecte la précision et la fidélité des algorithmes de traitement des signaux numériques utilisés dans le système. Un taux d’échantillonnage faible peut entraîner un repliement, où les composantes à haute fréquence du signal sont incorrectement échantillonnées comme des composantes à plus basse fréquence. Cela peut entraîner une distorsion et une perte d’informations dans le signal. Un taux d’échantillonnage courant pour l’audio numérique est de 44,1 kHz, qui est le taux d’échantillonnage utilisé dans les CD audio. Ce taux est choisi parce qu’il est légèrement supérieur à la fréquence la plus élevée audible par l’homme et qu’il permet également un stockage efficace des données audio. Un autre taux d’échantillonnage courant est le 48 kHz, utilisé dans les applications audio numériques telles que les DVD et les émissions de télévision numérique.
En conclusion, la détermination de la marge de gain est une étape importante dans la conception des systèmes de contrôle, car elle permet de garantir la stabilité du système. Nous pouvons déterminer la marge de gain en calculant les fonctions de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée et en analysant leur réponse en fréquence. Nous pouvons également déterminer la fréquence d’un signal à l’aide d’un analyseur de fréquence et sélectionner un taux d’échantillonnage approprié pour garantir un traitement numérique précis et fidèle du signal.
Pour calculer le module d’une fonction de transfert, il faut prendre la valeur absolue de la fonction de transfert. Le module d’une fonction de transfert est également connu sous le nom de réponse en magnitude, qui décrit l’amplitude du signal de sortie par rapport au signal d’entrée à une fréquence donnée. La réponse en amplitude est généralement représentée sur une échelle logarithmique pour produire un diagramme de Bode, qui montre le gain et le déphasage de la fonction de transfert sur une plage de fréquences.