En mathématiques, les nombres peuvent être représentés dans différentes bases ou systèmes de numération, notamment la base 10 (décimale), la base 2 (binaire), la base 5 (quinaire), la base 8 (octale) et la base 16 (hexadécimale). La conversion des nombres d’une base à l’autre est une compétence importante dans de nombreux domaines, notamment l’informatique et l’ingénierie. Dans cet article, nous verrons comment passer de la base 10 à la base 5, comment passer de la base 16 à la base 8, comment passer de la base 10 à la base 2, comment trouver une puissance de 2, comment fonctionne l’hexadécimal et comment convertir un nombre binaire en hexadécimal.
Passage de la base 10 à la base 5
Pour passer de la base 10 à la base 5, il faut diviser le nombre décimal par 5 et noter le reste. Nous divisons ensuite le quotient (le résultat de la division) par 5 et notons le reste. Nous répétons ce processus jusqu’à ce que le quotient soit égal à 0. Les restes, lus de bas en haut, nous donnent le nombre en base 5. Par exemple, pour convertir le nombre 38 en base 5 :
38 ÷ 5 = 7 reste 3
7 ÷ 5 = 1 reste 2
1 ÷ 5 = 0 reste 1
Passage de la base 16 à la base 8
Pour passer de la base 16 à la base 8, nous pouvons d’abord convertir le nombre hexadécimal en binaire, puis convertir le nombre binaire en octal. Pour convertir un nombre hexadécimal en binaire, il suffit de remplacer chaque chiffre hexadécimal par son équivalent binaire. Par exemple, pour convertir le nombre hexadécimal A2C en binaire :
A = 1010
2 = 0010
C = 1100
Par conséquent, A2C en hexadécimal est égal à 101000101100 en binaire. Pour convertir le nombre binaire en octal, on peut regrouper les bits par trois de droite à gauche et écrire l’équivalent octal pour chaque groupe. Par exemple :
Par conséquent, 101000101100 en binaire est égal à 5214 en octal. Par conséquent, A2C en hexadécimal est égal à 5214 en octal.
Passage de la base 10 à la base 2
Pour passer de la base 10 à la base 2 (binaire), on peut utiliser la méthode de la division par 2. On divise le nombre décimal par 2 et on note le reste. On divise ensuite à nouveau le quotient par 2 et on note le reste. On répète ce processus jusqu’à ce que le quotient soit égal à 0. Les restes, lus de bas en haut, donnent le nombre en binaire. Par exemple, pour convertir le nombre 47 en binaire :
47 ÷ 2 = 23 reste 1
23 ÷ 2 = 11 reste 1
11 ÷ 2 = 5 reste 1
5 ÷ 2 = 2 reste 1
2 ÷ 2 = 1 reste 0
1 ÷ 2 = 0 reste 1
Trouver une puissance de 2
Pour trouver une puissance de 2, nous pouvons utiliser la méthode de multiplication répétée. On commence par 1 et on le multiplie par 2 autant de fois que la puissance que l’on veut trouver. Par exemple, pour trouver 2 à la puissance 5 :
1 × 2 = 2
2 × 2 = 4
4 × 2 = 8
8 × 2 = 16
16 × 2 = 32
Fonctionnement de l’hexadécimal
L’hexadécimal est un système de numération en base 16 qui utilise 16 chiffres : 0-9 et A-F. La valeur de chaque chiffre est déterminée par sa position dans le nombre, comme en base 10. Le chiffre le plus à droite représente la place des uns, le chiffre suivant à gauche représente la place des six dizaines, puis la place des 256, et ainsi de suite. Par exemple, le nombre hexadécimal 3F2 peut être écrit comme suit :
Conversion d’un nombre binaire en hexadécimal
Pour convertir un nombre binaire en hexadécimal, on peut d’abord regrouper les bits par quatre de droite à gauche. Nous écrivons ensuite l’équivalent hexadécimal de chaque groupe. Par exemple, pour convertir le nombre binaire 101101110111 en hexadécimal :
Par conséquent, 101101110111 en binaire est égal à BDD en hexadécimal.
En conclusion, la conversion des nombres d’une base à une autre peut être effectuée à l’aide de différentes méthodes en fonction des bases de départ et d’arrivée. Les méthodes présentées dans cet article peuvent servir de point de départ pour approfondir le sujet.