L’algorithme du simplexe est une technique d’optimisation largement utilisée dans la programmation linéaire. Il a été développé par George Dantzig en 1947 et fournit une approche systématique pour résoudre les problèmes de programmation linéaire. L’algorithme du simplexe fonctionne en améliorant la solution de manière itérative jusqu’à ce qu’une solution optimale soit trouvée. Cet article explique comment effectuer un tableau simplexe, déterminer le pivot, trouver une solution optimale et comprendre les caractéristiques des variables artificielles.
L’algorithme simplex commence par convertir le problème de programmation linéaire en une matrice augmentée. La matrice augmentée est une matrice composée des coefficients des variables du problème de programmation linéaire et des constantes du côté droit. La première étape de l’algorithme du simplexe consiste à convertir la matrice augmentée en une table du simplexe. La table du simplexe est une table composée des coefficients des variables, des constantes et des variables relâchées.
Le pivot est l’élément du tableau du simplexe qui est utilisé pour effectuer l’itération suivante de l’algorithme du simplexe. Le pivot est choisi comme suit : tout d’abord, la colonne ayant la valeur la plus négative dans la rangée inférieure est sélectionnée. Cette colonne est appelée colonne pivot. Ensuite, l’élément pivot est choisi comme étant le plus petit rapport non négatif entre les constantes et les coefficients de la colonne pivot. Ce rapport est calculé pour chaque ligne du tableau simplexe et la ligne présentant le plus petit rapport est choisie. L’élément de cette ligne et de cette colonne est le pivot.
Une fois le pivot déterminé, l’algorithme du simplexe procède à des opérations sur les lignes pour transformer le tableau du simplexe. Les opérations sur les lignes sont effectuées pour que l’élément pivot soit égal à 1 et que tous les autres éléments de la colonne pivot soient égaux à 0. Le tableau résultant est la prochaine itération de l’algorithme du simplexe. L’algorithme s’arrête lorsqu’il n’y a plus de valeurs négatives dans la rangée inférieure du tableau du simplexe. La solution optimale est trouvée lorsque toutes les variables ayant un coefficient non nul dans la rangée inférieure sont fixées à 0 et que la valeur de la fonction objective est lue dans la partie droite du tableau du simplexe.
Caractéristiques des variables artificielles
Les variables artificielles sont introduites dans l’algorithme du simplexe pour convertir une contrainte d’inégalité en une contrainte d’égalité. Les variables artificielles ont un coefficient de 1 dans la ligne qui correspond à la contrainte d’inégalité dans le tableau du simplexe. Les caractéristiques des variables artificielles sont qu’elles ne sont utilisées que dans le tableau initial du simplexe et qu’elles sont supprimées du tableau du simplexe lorsque la solution optimale est trouvée. Si une variable artificielle reste dans la solution finale, le problème de programmation linéaire est infaisable.
La recherche opérationnelle est un domaine d’étude qui utilise des modèles mathématiques pour résoudre des problèmes complexes dans divers secteurs d’activité. La recherche opérationnelle implique l’utilisation de techniques d’optimisation, y compris la programmation linéaire, pour trouver la meilleure solution à un problème. L’algorithme du simplexe est l’une des techniques d’optimisation utilisées en recherche opérationnelle. La recherche opérationnelle est utilisée dans divers domaines, notamment les soins de santé, le transport, la logistique, la finance et la fabrication, pour n’en citer que quelques-uns. Pour comprendre la recherche opérationnelle, il faut de solides connaissances en mathématiques, en statistiques et en informatique.
En conclusion, l’algorithme du simplexe est une technique d’optimisation puissante qui peut être utilisée pour résoudre des problèmes de programmation linéaire. L’algorithme consiste à convertir le problème de programmation linéaire en une matrice augmentée, à déterminer le pivot, à effectuer des opérations sur les lignes pour transformer le tableau du simplexe et à trouver la solution optimale. Des variables artificielles sont introduites dans l’algorithme du simplexe pour convertir une contrainte d’inégalité en une contrainte d’égalité. La recherche opérationnelle est un domaine d’étude qui utilise des modèles mathématiques pour résoudre des problèmes complexes dans diverses industries.