est positif si le contour se fait dans le sens trigonométrique et négatif sinon. Avec cette équation, on pourra avoir accès au nombre de pôles instables et donc conclure sur la stabilité du système. Un système étant stable si il ne comporte aucun pôle stable.
Les diagrammes de Nyquist et de Black sont des outils essentiels pour comprendre le traitement du signal et l’audio numérique. Ces diagrammes fournissent une représentation visuelle de la réponse en fréquence d’un système, ce qui facilite l’analyse et la conception de filtres numériques. Dans cet article, nous verrons comment lire les diagrammes de Nyquist et de Black, et nous répondrons à des questions connexes telles que le choix de la fréquence d’échantillonnage, la raison pour laquelle on utilise 44100 et la manière de dessiner un diagramme de Black sous Matlab.
Qu’est-ce qu’un diagramme de Nyquist ?
Un diagramme de Nyquist est un tracé de la réponse en fréquence d’un système dans le plan complexe. L’axe des x représente la partie réelle de la réponse en fréquence, tandis que l’axe des y représente la partie imaginaire. Le diagramme montre comment le système répond à différentes fréquences, l’ampleur de la réponse étant indiquée par la distance à l’origine et la phase par l’angle par rapport à l’axe réel.
Pour lire un diagramme de Nyquist, il faut d’abord noter l’emplacement de l’origine, qui représente la réponse en courant continu du système. Le diagramme est ensuite divisé en quatre quadrants, le quadrant supérieur droit représentant les fréquences où le système a un gain positif et le quadrant inférieur droit représentant les fréquences où le système a un gain négatif. Le quadrant supérieur gauche représente les fréquences où le système a un déphasage négatif, tandis que le quadrant inférieur gauche représente les fréquences où le système a un déphasage positif.
Un diagramme de Black, également connu sous le nom de diagramme de Bode, est un diagramme de la réponse en magnitude et en phase d’un système en fonction de la fréquence. Le diagramme se compose de deux tracés, l’un pour la réponse en magnitude en décibels et l’autre pour la réponse en phase en degrés. L’axe des x représente la fréquence en échelle logarithmique, tandis que l’axe des y représente l’amplitude en décibels ou la phase en degrés.
Pour lire un diagramme de Black, il faut d’abord noter la gamme de fréquences et les unités utilisées. La réponse en magnitude est généralement représentée sur une échelle logarithmique, chaque tache majeure représentant une augmentation de la fréquence d’un facteur dix. La réponse en phase est généralement représentée sur une échelle linéaire, chaque tic majeur représentant un déphasage de 45 degrés.
Pourquoi 44100 ?
La fréquence d’échantillonnage standard pour l’audio numérique est de 44100 échantillons par seconde, ou 44,1 kHz. Cette fréquence a été choisie parce qu’elle correspond au double de la fréquence maximale audible, qui est d’environ 20 kHz. Le théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon stipule qu’un signal peut être parfaitement reconstruit à partir de ses échantillons si la fréquence d’échantillonnage est au moins le double de la composante de fréquence la plus élevée du signal. En choisissant une fréquence d’échantillonnage de 44,1 kHz, nous pouvons capturer avec précision toutes les fréquences audibles dans un signal audio numérique.
Lors du choix de la fréquence d’échantillonnage, il est important de prendre en compte la composante de fréquence la plus élevée du signal. La fréquence d’échantillonnage doit être au moins deux fois supérieure à cette fréquence pour éviter le repliement, qui se produit lorsqu’un signal à haute fréquence est incorrectement reconstruit sous la forme d’un signal à plus basse fréquence. Cependant, le choix d’une fréquence d’échantillonnage plus élevée que nécessaire peut entraîner des fichiers plus volumineux et des temps de traitement plus longs. En général, une fréquence d’échantillonnage de 44100 Hz est suffisante pour la plupart des applications audio numériques.
Comment déterminer la fréquence d’échantillonnage ?
Pour déterminer la fréquence d’échantillonnage requise pour un signal particulier, il faut d’abord déterminer la composante de fréquence la plus élevée du signal. Cela peut être fait à l’aide d’un analyseur de spectre ou en analysant la forme d’onde du signal. Une fois que la composante de fréquence la plus élevée a été déterminée, choisissez une fréquence d’échantillonnage qui est au moins le double de cette fréquence. Par exemple, si la composante de fréquence la plus élevée d’un signal est de 10 kHz, une fréquence d’échantillonnage de 20 kHz ou plus est suffisante.
Comment dessiner un diagramme noir sur Matlab ?
Pour dessiner un diagramme noir sous Matlab, définissez d’abord la fonction de transfert du système à l’aide de la fonction « tf ». Ensuite, utilisez la fonction « bode » pour tracer la réponse en magnitude et en phase du système. Le tracé obtenu peut être personnalisé à l’aide des différentes options de formatage disponibles dans Matlab. Par exemple, pour tracer la fonction de transfert d’un filtre passe-bas du deuxième ordre, le code suivant peut être utilisé :
s = tf(‘s’) ;
H = 1 / (s^2 + 2*0,707*s + 1) ;
bode(H) ;
En conclusion, les diagrammes de Nyquist et de Black sont des outils puissants pour l’analyse et la conception de systèmes numériques. En comprenant comment lire ces diagrammes et comment choisir la fréquence d’échantillonnage, vous pouvez capturer et traiter avec précision les signaux audio numériques. En outre, Matlab fournit une plate-forme pratique pour dessiner les diagrammes de Black, ce qui facilite la conception et l’optimisation des filtres numériques.