La valeur maximale des nombres binaires de 16 bits : Expliqué

Un nombre binaire de 16 bits est une séquence de 16 chiffres ou bits binaires, qui peut représenter jusqu’à 2^16 ou 65 536 valeurs distinctes. Le plus grand nombre pouvant être écrit avec 16 bits est 11111111111111 en binaire, ce qui équivaut à 65 535 en notation décimale.

Les nombres binaires peuvent être utilisés pour représenter à la fois des nombres entiers positifs et négatifs, et la manière dont les nombres négatifs sont codés dépend du système de représentation choisi. Dans le système complément à deux, le bit le plus à gauche est utilisé pour indiquer le signe du nombre, 0 représentant les nombres positifs et 1 les nombres négatifs. Par exemple, le nombre binaire de 16 bits 1000000000000001 représente -32767 en notation décimale.

Pour convertir un nombre négatif en hexadécimal, le nombre doit d’abord être converti en sa représentation binaire équivalente en complément à deux. Ensuite, chaque groupe de quatre chiffres binaires peut être converti en son chiffre hexadécimal correspondant. Par exemple, la représentation en complément à deux de -32767 est 1000000000000001, qui peut être regroupée en 1000 0000 0000 0001. La conversion de chaque groupe en hexadécimal donne le résultat 0x8001.

La conversion d’un nombre réel en binaire implique de décomposer le nombre en ses parties entières et fractionnaires et de convertir chaque partie séparément en binaire. La partie entière peut être convertie à l’aide de la méthode standard de conversion décimal-binaire, tandis que la partie fractionnaire peut être convertie à l’aide de la méthode de multiplication par 2. Par exemple, le nombre réel 10,25 peut être converti en binaire comme suit :

– Convertir la partie entière 10 en binaire : 1010

– Convertir la partie fractionnaire 0,25 en binaire en la multipliant plusieurs fois par 2 et en prenant la partie entière de chaque résultat :

– 0,25 x 2 = 0,5 -> 0

– 0,5 x 2 = 1,0 -> 1

– Combiner les représentations binaires des parties entières et fractionnaires : 1010.01

La division binaire est similaire à la division décimale, mais n’utilise que les chiffres 0 et 1. Pour effectuer une division binaire, le diviseur est soustrait du dividende autant de fois que possible, chaque soustraction produisant un chiffre de quotient de 1. Le reste de la soustraction finale, le cas échéant, est reporté sur le chiffre de dividende suivant. Par exemple, pour diviser le nombre binaire 110101 par 101, nous pouvons suivre les étapes suivantes :

– Aligner le diviseur sous les chiffres les plus à gauche du dividende :

110101

– 101

– Soustraire le diviseur du dividende autant de fois que possible :

110101

– 101

011001

– 101

001111

– Le quotient est la séquence de 1 qui sont sortis lors de la soustraction : 1011

– Le reste est le résultat final de la soustraction : 111

L’addition de deux nombres binaires est également similaire à l’addition décimale, mais elle n’utilise que les chiffres 0 et 1. Pour additionner deux chiffres binaires, nous pouvons utiliser les règles suivantes :

– 0 + 0 = 0

– 0 + 1 = 1

– 1 + 0 = 1

– 1 + 1 = 10 (report de 1 au chiffre suivant)

1 0 1 0 1

+ 1 1 0 1

———–

1 0 0 0 0

+ 1 0 1

———–

1 0 0 1 0

En conclusion, un nombre binaire de 16 bits peut représenter jusqu’à 65 536 valeurs distinctes, la plus grande valeur étant 1111111111111111 en binaire. Les nombres négatifs peuvent être codés en utilisant le système du complément à deux, et la conversion des nombres réels en binaire implique une conversion séparée des parties entières et fractionnaires. La division et l’addition binaires utilisent des règles similaires à leurs équivalents décimaux, mais en utilisant uniquement les chiffres 0 et 1.