La programmation linéaire est un outil puissant utilisé pour optimiser l’utilisation des ressources dans divers secteurs tels que la fabrication, le transport et la finance. L’un des éléments clés d’un problème de programmation linéaire est la fonction objectif, c’est-à-dire l’équation à optimiser. Cependant, la fonction objective est soumise à des contraintes qui limitent les solutions possibles. L’utilisation de variables artificielles est une technique importante pour résoudre les problèmes de programmation linéaire avec contraintes.
L’objectif des variables artificielles est de convertir les contraintes qui ne sont pas sous la forme standard en contraintes qui le sont. Plus précisément, une variable artificielle est une variable qui est ajoutée à une contrainte pour la convertir en une équation. La variable artificielle est ensuite utilisée pour obtenir une solution de base initiale réalisable qui satisfait toutes les contraintes. Une fois cette solution initiale trouvée, les variables artificielles sont supprimées du problème et le problème de programmation linéaire est résolu à l’aide de la méthode du simplexe.
La méthode du simplexe est un algorithme utilisé pour trouver la solution optimale à un problème de programmation linéaire. L’algorithme part d’une solution initiale réalisable et améliore ensuite la solution de manière itérative jusqu’à ce que la solution optimale soit trouvée. L’algorithme fonctionne en sélectionnant une variable non fondamentale et en déterminant de combien elle peut être augmentée ou diminuée sans violer aucune des contraintes. Ce processus est répété jusqu’à ce qu’aucune amélioration ne puisse être apportée.
L’un des défis de la méthode du simplexe est de déterminer la solution initiale réalisable. L’algorithme de parcoursup est l’une des méthodes utilisées pour trouver la solution initiale. Cet algorithme consiste à résoudre une série d’équations linéaires pour trouver les valeurs des variables artificielles qui satisfont toutes les contraintes. Une fois les variables artificielles supprimées du problème, la méthode du simplexe peut être utilisée pour trouver la solution optimale.
La méthode du grand M est une autre technique utilisée pour résoudre les problèmes de programmation linéaire avec contraintes. Cette méthode consiste à ajouter une grande constante aux coefficients des variables artificielles dans la fonction objectif. Ce faisant, les variables artificielles sont pénalisées dans la fonction objective, ce qui rend plus probable leur mise à zéro dans la solution optimale. La valeur de M doit être suffisamment grande pour garantir que les variables artificielles sont toujours moins souhaitables que les variables non artificielles.
En conclusion, les objectifs de la programmation linéaire consistent à maximiser ou à minimiser une fonction objectif linéaire soumise à des contraintes. L’utilisation de variables artificielles est une technique importante utilisée pour convertir les contraintes qui ne sont pas sous la forme standard en contraintes qui le sont. La solution initiale réalisable peut être trouvée à l’aide de l’algorithme de parcoursup, et la solution optimale peut être trouvée à l’aide de la méthode du simplexe. La méthode des grands M est une autre technique qui peut être utilisée pour résoudre des problèmes de programmation linéaire avec des contraintes. Le pivot de Gauss est une technique utilisée pour résoudre les équations linéaires et est utilisé dans l’algorithme de parcoursup pour trouver la solution initiale réalisable.
La méthode de Gauss est un algorithme mathématique utilisé pour résoudre des systèmes d’équations linéaires. Pour effectuer la méthode de Gauss, vous devez suivre les étapes suivantes :
1. écrire le système d’équations sous forme de matrice.
2. Utilisez les opérations élémentaires sur les lignes pour transformer la matrice en forme d’échelon de ligne.
Utilisez la rétro-substitution pour résoudre les variables.
Les opérations élémentaires sur les lignes comprennent l’échange de deux lignes, la multiplication d’une ligne par une constante non nulle et l’ajout d’un multiple d’une ligne à une autre. L’objectif est de réduire la matrice à une forme triangulaire, où toutes les entrées sous la diagonale principale sont nulles. Une fois que la matrice est sous forme d’échelon de rangée, vous pouvez facilement résoudre les variables à l’aide de la substitution arrière.