- est une fonction paire si et seulement si est symétrique par rapport à l’axe , parallèlement à l’axe .
- est une fonction impaire si et seulement si est symétrique par rapport à l’origine .
Une fonction est dite impaire si elle vérifie la propriété suivante : pour tout x de son domaine de définition, f(-x) = -f(x). Autrement dit, une fonction est impaire si elle est symétrique par rapport à l’origine du repère. Pour savoir si une fonction est impaire, il suffit donc de vérifier cette propriété.
Comment montrer que toute fonction linéaire est impaire ?
Une fonction linéaire est une fonction de la forme f(x) = ax, où a est une constante réelle. Pour montrer qu’une telle fonction est impaire, on doit donc vérifier que f(-x) = -f(x) pour tout x réel. En effet, on a f(-x) = a(-x) = -ax = -f(x), ce qui prouve que f est impaire.
Une fonction est dite croissante sur un intervalle I si, pour tout couple de points x1 et x2 de I tels que x1 < x2, on a f(x1) < f(x2). Autrement dit, la fonction "monte" sur l'intervalle I. De même, une fonction est dite décroissante sur I si, pour tout couple de points x1 et x2 de I tels que x1 f(x2). Autrement dit, la fonction « descend » sur l’intervalle I.
Pour savoir si une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle donné, il suffit de calculer sa dérivée sur cet intervalle et de voir si elle est positive (fonction croissante) ou négative (fonction décroissante).
Oui, il existe des fonctions qui ne sont ni paires ni impaires. Par exemple, la fonction f(x) = x^2 + 1 n’est ni paire ni impaire, car elle ne vérifie pas la propriété f(-x) = -f(x) pour tout x réel.
La fonction inverse est définie par f(x) = 1/x. Pour montrer qu’elle est impaire, on doit vérifier que f(-x) = -f(x) pour tout x non nul. En effet, on a f(-x) = 1/(-x) = -(1/x) = -f(x), ce qui prouve que f est impaire. La fonction inverse est donc symétrique par rapport à l’origine du repère.
Les antécédents d’une fonction f sont les valeurs x telles que f(x) = y pour un certain y donné. Pour trouver les antécédents d’une fonction, il suffit donc de résoudre l’équation f(x) = y. Par exemple, si f(x) = x^2 et y = 4, alors les antécédents de f pour y = 4 sont x = 2 et x = -2.
Pour déterminer le coefficient de la fonction linéaire, vous devez trouver la pente de la ligne. Cela peut être fait en utilisant la formule suivante: coefficient de la fonction linéaire = (y2 – y1) / (x2 – x1), où (x1, y1) et (x2, y2) sont deux points sur la ligne.
Pour savoir si une équation est croissante, il faut étudier la dérivée de cette équation. Si la dérivée est positive sur tout l’intervalle étudié, alors l’équation est croissante sur cet intervalle. Si la dérivée est négative sur tout l’intervalle étudié, alors l’équation est décroissante sur cet intervalle. Si la dérivée est nulle en un point de l’intervalle étudié, alors l’équation présente un extremum en ce point.
Une fonction est décroissante si pour tout couple d’abscisses $x_1$ et $x_2$ tels que $x_1<x_2$, la valeur de la fonction en $x_1$ est supérieure à la valeur de la fonction en $x_2$. Autrement dit, la fonction diminue lorsque l'abscisse augmente. On peut également observer que la dérivée de la fonction est négative sur l'ensemble de son domaine de définition.