Un nombre rationnel est un nombre qui peut être représenté sous la forme d’une fraction, où le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers. Ainsi, pour savoir si 1/3 est un nombre rationnel, il suffit de vérifier si 1 et 3 sont des nombres entiers.
Comment montrer que ln2/ln3 est irrationnel ?
Pour montrer que ln2/ln3 est un nombre irrationnel, nous pouvons faire une démonstration par l’absurde. Supposons que ln2/ln3 est un nombre rationnel. Cela signifie qu’il peut être représenté sous la forme d’une fraction irréductible, où le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers.
Ainsi, nous pouvons écrire : ln2/ln3 = a/b, où a et b sont des nombres entiers et a et b n’ont pas de facteurs communs. En élevant les deux côtés de l’équation à la puissance de ln3, nous obtenons : 2 = 3^(a/b).
Cependant, il est connu que 2 n’est pas une puissance entière de 3. Par conséquent, notre hypothèse selon laquelle ln2/ln3 est un nombre rationnel est fausse. Ainsi, nous pouvons conclure que ln2/ln3 est un nombre irrationnel.
Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas être représenté sous la forme d’une fraction. Cela signifie que son expansion décimale est infinie et non périodique. Un exemple de nombre irrationnel est pi (π), qui commence par 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510…
Pour montrer que la racine carrée de 3 est un nombre irrationnel, nous pouvons également faire une démonstration par l’absurde. Supposons que la racine carrée de 3 est un nombre rationnel. Cela signifie qu’il peut être représenté sous la forme d’une fraction irréductible, où le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers.
Ainsi, nous pouvons écrire : racine de 3 = a/b, où a et b sont des nombres entiers et a et b n’ont pas de facteurs communs. En élevant les deux côtés de l’équation au carré, nous obtenons : 3 = a^2/b^2.
Cela implique que 3 est divisible par b^2. Puisque 3 est un nombre premier, cela signifie que b^2 doit être égal à 3. Cependant, cela est impossible, car il n’y a pas de nombres entiers dont le carré est égal à 3.
Quelle est la racine carrée de 5 ?
La racine carrée de 5 est un nombre irrationnel qui peut être approximé à 2,2360679775…
Pour montrer que la racine de 10 est irrationnelle, on peut utiliser une preuve par l’absurde. Supposons que la racine de 10 est rationnelle et peut être écrite sous la forme d’une fraction irréductible p/q, où p et q sont des entiers premiers entre eux. En élevant les deux côtés de cette équation au carré, on obtient que 10 = p^2/q^2, ce qui peut être réécrit comme p^2 = 10q^2. Cela signifie que p^2 est un multiple de 10, donc p doit être un multiple de 10. Cependant, cela contredit le fait que p et q sont premiers entre eux. Donc, notre supposition initiale était fausse et la racine de 10 est irrationnelle.
Non, le carré d’un nombre irrationnel peut être un nombre rationnel. Un exemple est le carré de √2 qui est égal à 2, un nombre rationnel.
Oui, 1/3 est un nombre décimal qui peut être écrit sous forme de décimale périodique : 0,33333…