La découverte de l’irrationalité de √2 remonte à l’antiquité grecque. Selon la légende, Pythagore, le mathématicien grec, a découvert que √2 était irrationnel lorsqu’il a essayé de trouver la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux autres côtés mesuraient une unité. Cependant, il a découvert que la longueur de l’hypoténuse ne pouvait pas être exprimée comme un rapport de deux nombres entiers.
Un nombre est dit irrationnel s’il ne peut pas être exprimé comme un rapport de deux nombres entiers. Pour savoir si un nombre est irrationnel, il suffit donc de chercher s’il peut être exprimé sous forme de fraction. Si ce n’est pas le cas, le nombre est irrationnel.
Pour montrer que ln2 ln3 est irrationnel, on peut utiliser une méthode similaire à celle utilisée pour prouver l’irrationalité de √2. Si ln2 ln3 était rationnel, il pourrait être écrit sous forme de fraction p/q où p et q sont des nombres entiers. En utilisant les propriétés des logarithmes, on peut simplifier cette fraction pour obtenir ln(3)/ln(2), qui est irréductible. Cependant, cette expression est également irréductible et ne peut être exprimée comme un rapport de deux nombres entiers. Par conséquent, ln2 ln3 est irrationnel.
Pour démontrer que la racine de 3 est irrationnelle, on peut également utiliser une preuve par l’absurde. Supposons que √3 est un nombre rationnel, c’est-à-dire qu’il peut être écrit sous forme de fraction irréductible p/q. En élevant les deux côtés au carré, on obtient que 3 = p²/q². Cela implique que p² est divisible par 3, ce qui signifie que p est également divisible par 3. En d’autres termes, p = 3k pour un certain nombre entier k. En substituant cela dans l’expression précédente, on obtient que 3q² = 9k², ce qui implique que q² est divisible par 3. Cela signifie que q est également divisible par 3, ce qui contredit notre hypothèse selon laquelle p/q est une fraction irréductible. Par conséquent, √3 est un nombre irrationnel.
Pour prouver qu’un nombre est rationnel, il suffit de le montrer sous forme de fraction irréductible p/q où p et q sont des nombres entiers et q n’est pas égal à zéro. Par exemple, pour montrer que 0,75 est un nombre rationnel, on peut l’écrire sous forme de fraction 3/4. De même, pour montrer que √4 est un nombre rationnel, on peut l’écrire sous forme de fraction 2/1.
Une explication rationnelle est une explication qui peut être justifiée par des raisonnements logiques et des preuves concrètes. Elle est basée sur des principes rationnels et conformes à la raison. En d’autres termes, une explication rationnelle est une explication qui peut être comprise et acceptée par la logique et la raison.
La constante mathématique « e » est irrationnelle car elle ne peut pas être exprimée comme une fraction de deux nombres entiers. Cette propriété a été démontrée par Leonhard Euler au 18ème siècle. Une preuve plus moderne a été proposée par Charles Hermite en 1873. En utilisant une méthode d’approximation, il a montré que si « e » était un nombre rationnel, alors il existerait un polynôme avec des coefficients entiers qui s’annulerait en « e ». Cependant, cela contredit le fait que « e » est la limite de certaines séries infinies qui ne peuvent pas être exprimées comme des polynômes. Par conséquent, « e » est une constante mathématique irrationnelle.
Les nombres irrationnels n’ont pas été inventés par une personne en particulier. Ils ont été découverts ou plutôt compris comme une réalité mathématique au cours de l’histoire des mathématiques. Les mathématiciens grecs de l’Antiquité, tels que Pythagore et Euclide, ont commencé à explorer les propriétés des nombres et ont découvert que certains nombres ne pouvaient pas être exprimés comme des fractions. Cependant, ce n’est qu’au 19ème siècle que la nature et les propriétés des nombres irrationnels ont été pleinement compris et formalisés.