L’ensemble Q, également appelé ensemble des nombres rationnels, est un ensemble de nombres qui peut être exprimé sous forme de fraction, c’est-à-dire qu’il peut être représenté par un nombre entier sur un nombre entier différent de zéro. Cependant, il existe des nombres qui ne peuvent pas être représentés de cette manière, ces nombres sont appelés nombres irrationnels.
Pour prouver qu’un nombre est irrationnel, il faut démontrer qu’il ne peut pas être exprimé sous forme de fraction. Pour cela, on peut utiliser une preuve par contradiction.
En élevant au carré les deux membres de cette équation, on obtient 3 = a²/b². On peut alors multiplier les deux membres de l’équation par b² pour obtenir a² = 3b². Cela signifie que a² est un multiple de 3. Par conséquent, a est également un multiple de 3.
En remplaçant a par 3c dans l’équation initiale, on obtient √3 = 3c/b. Cela signifie que √3 peut être exprimé sous forme de fraction réduite, ce qui contredit l’hypothèse de départ. Par conséquent, √3 est un nombre irrationnel et n’appartient pas à l’ensemble Q.
En ce qui concerne la racine carrée de 2 (√2), elle est également un nombre irrationnel. En effet, si l’on suppose que √2 peut être exprimé sous forme de fraction, on peut utiliser une preuve similaire pour démontrer qu’il s’agit également d’un nombre irrationnel.
En conclusion, la racine de 3 n’appartient pas à l’ensemble des nombres rationnels (Q) car elle est un nombre irrationnel. Sa valeur est d’environ 1,73205.
Pour démontrer l’irrationalité de racine de 2, on peut supposer par l’absurde que racine de 2 est un nombre rationnel et l’exprimer sous la forme d’une fraction irréductible. Ensuite, on peut élever les deux côtés de cette équation au carré et par une série de manipulations algébriques, on peut arriver à une contradiction, prouvant ainsi que racine de 2 est un nombre irrationnel.
Pour savoir si un nombre est rationnel ou irrationnel, on peut vérifier si ce nombre peut être représenté sous forme de fraction de deux nombres entiers. Si c’est le cas, alors ce nombre est rationnel. Sinon, il est irrationnel. Par exemple, pi est un nombre irrationnel car il ne peut pas être exprimé sous forme de fraction de deux nombres entiers, tandis que 2/3 est un nombre rationnel car il peut être écrit comme une fraction de deux nombres entiers (2 et 3).
Les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être exprimés comme fractions de nombres entiers et qui ont une expansion décimale infinie et non périodique. Des exemples de nombres irrationnels célèbres incluent la racine carrée de 2, la constante pi et la racine cubique de 3.