Une nouvelle étude dirigée par Giuseppe Mussardo de SISSA utilise la physique statistique pour apporter un nouvel éclairage sur le problème mathématique du millénaire.
Nous pensons peut-être connaître les lois mathématiques qui régissent le monde, mais il existe encore de nombreux problèmes ouverts auxquels les scientifiques n'ont pas encore trouvé de solution.
Parmi les paradoxes, les théorèmes et les conjectures, il y a un problème en particulier qui est unanimement décrit comme le plus important problème ouvert en mathématiques, un problème qui engage les scientifiques du monde entier depuis plus de 150 ans.
La conjecture de Riemann
Le problème en question a été formulé par Bernhard Riemann en 1859, et il s'agit d'une hypothèse complexe concernant la distribution des zéros sur la fonction dite "zêta", la fonction d'une variable complexe - appelée Zêta - qui était déjà connue à l'époque d'Euler mais que l'on appelle aujourd'hui simplement la fonction zêta de Riemann.
Démontrer l'hypothèse de Riemann aurait des conséquences importantes sur la distribution des nombres premiers, le "Saint Graal" de la communauté mathématique.
Depuis le 18e siècle, d'éminents mathématiciens sont à la recherche d'une règle mathématique qui démontrerait une logique dans la distribution des nombres premiers.
Jusqu'à ce jour, la distribution des nombres premiers est considérée comme aléatoire, c'est pourquoi les nombres premiers sont à la base des algorithmes de cryptage utilisés en sécurité informatique.
Mais une démonstration de l'hypothèse de Riemann aurait également des conséquences fondamentales pour la physique quantique, qui est étroitement liée depuis quelques années aux tentatives de démonstration de la fonction zêta de Riemann.
Dès 2017, une équipe de recherche américaine, canadienne et britannique a tenté de prouver la conjecture en utilisant un outil mathématique issu de la mécanique quantique (l'opérateur hamiltonien), et a émis l'hypothèse qu'il pourrait y avoir une relation entre les zéros de la fonction zêta et les états d'énergie d'un système quantique.
Et c'est de la physique qu'arrivent d'autres briques pour résoudre le problème mathématique ouvert depuis maintenant plus de 160 ans.
Expliquer les mathématiques avec la physique
Le problème de Riemann est l'un des sept problèmes mathématiques du millénaire, les sept problèmes non résolus pour lesquels le célèbre Clay Institute de Cambridge a offert un million de dollars pour les résoudre.
La dernière pièce qui nous rapproche de la solution possible du problème mathématique du millénaire provient du Journal of Statistical Mechanics, et porte la signature de Giuseppe Mussardo, de la SISSA - Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati, et d'André Leclair de l'Université Cornell.
Les deux chercheurs ont analysé une quantité incroyable de données au cours des trois dernières années, en utilisant une approche inédite basée sur la physique statistique, et en particulier sur la physique des mouvements chaotiques.
La solution de l'énigme mathématique ouverte depuis plus d'un siècle pourrait donc réellement venir de la physique, ce qui pourrait fournir de nouvelles clés importantes pour comprendre la fonction de Riemann.
Le fait que la physique, qui a toujours été la servante des mathématiques, fournisse des outils et des méthodes pour résoudre un problème purement mathématique est exceptionnel, et l'évolution des tentatives pour prouver l'hypothèse de Riemann semble montrer justement une telle tendance.
La quête pour comprendre la logique derrière la disposition des zéros le long de la fonction de Riemann s'enrichit, grâce à cette étude, d'une explication possible plutôt inattendue : il existe un mouvement chaotique dans la distribution en ligne droite des zéros, ainsi que les lois statistiques qui la régissent. Un nouvel éclairage sur l'énigme mathématique du siècle.
Comme le soulignent les auteurs dans la recherche, nous n'avons pas affaire à une preuve rigoureuse de l'hypothèse de Riemann, mais "si ce travail a pour effet de stimuler d'autres études rigoureuses par de vrais mathématiciens sur le sujet, il aura déjà atteint son objectif d'attirer l'attention sur une manière possible de traiter un problème de longue date comme l'hypothèse de Riemann".