Le concept de compacité est important en mathématiques, particulièrement en topologie et en analyse. Un espace est dit compact si chaque couverture ouverte de cet espace possède une sous-couverture finie. Si de nombreux espaces sont compacts, ce n’est pas le cas de tous, et il est important de déterminer quels sont les espaces compacts et ceux qui ne le sont pas. Dans cet article, nous allons explorer le concept de compacité dans le contexte de la droite réelle R.
R n’est pas compact. On peut le montrer en construisant un recouvrement ouvert de R qui n’a pas de sous-couverture finie. Considérons le couvercle ouvert {(n, n+2) : n ∈ Z}. C’est une collection d’intervalles ouverts qui couvre R, mais aucune sous-couverture finie de cette couverture ne peut couvrir R, puisque pour toute collection finie d’intervalles, il y aura toujours un point dans R qui n’est couvert par aucun d’entre eux. Ainsi, R n’est pas compact.
Cependant, R est un espace complet. Un espace est dit complet si toute suite de Cauchy dans cet espace converge vers une limite dans cet espace. Dans R, on peut montrer que toute suite de Cauchy converge vers une limite dans R. Pour voir pourquoi, considérons une suite de Cauchy (xn) dans R. Cela signifie que pour tout ε > 0, il existe un N tel que |xn – xm| < ε pour tout n, m ≥ N. Puisque R est un espace métrique, cela implique que (xn) est une suite de Cauchy au sens de l'espace métrique. Puisque R est un espace métrique, c'est aussi un espace de Hausdorff, ce qui implique que les limites des suites sont uniques. Ainsi, (xn) converge vers une limite dans R.
Si R n’est pas compact, quels sont les compacts de R ? Les compacts de R sont précisément les sous-ensembles fermés et bornés de R. C’est ce qu’on appelle le théorème de Heine-Borel, qui stipule qu’un sous-ensemble de R est compact si et seulement s’il est fermé et borné. Pour comprendre pourquoi cela est vrai, notons que tout recouvrement ouvert d’un sous-ensemble fermé et borné de R doit contenir un intervalle ouvert (a, b) contenant la fermeture du sous-ensemble. Puisque le sous-ensemble est borné, il existe un entier n tel que n > b – a, et les intervalles (a, a + 1/n), (a + 1/n, a + 2/n), …, (b – 1/n, b) couvrent l’intervalle (a, b). Ainsi, nous pouvons prendre une sous-couverture finie de ces intervalles qui couvre la fermeture du sous-ensemble, et cette sous-couverture finie couvrira également le sous-ensemble lui-même.
En utilisant le théorème de Heine-Borel, nous pouvons facilement montrer que tout ensemble fini est compact. Un ensemble fini est clairement borné, puisque tous ses éléments ont une distance finie les uns par rapport aux autres. Pour montrer qu’il est fermé, on peut montrer que son complément est ouvert. Soit A un sous-ensemble fini de R, et soit x un point du complémentaire de A. Puisque A est fini, il existe une distance positive d entre x et le point le plus proche de A. Alors l’intervalle ouvert (x – d/2, x + d/2) est entièrement contenu dans le complémentaire de A, puisque tout point de cet intervalle est au moins à d/2 de tout point de A. Ainsi, le complémentaire de A est ouvert, et donc A est fermé. Par le théorème de Heine-Borel, A est compact.
Enfin, si l’on veut montrer qu’un ensemble est borné, il faut trouver un nombre M tel que tout point de l’ensemble ait une valeur absolue inférieure à M. Par exemple, si l’on a l’ensemble {1, 2, 3}, on peut prendre M = 4, puisque tout point de l’ensemble a une valeur absolue inférieure à 4. Si nous avons l’ensemble {1/n : n ∈ N}, nous pouvons prendre M = 1, puisque chaque point de l’ensemble a une valeur absolue inférieure à 1. Si nous avons l’ensemble {(n, 1/n) : n ∈ N}, nous pouvons prendre M = 2, puisque chaque point de l’ensemble a une valeur absolue inférieure à 2. En trouvant un M approprié pour un ensemble donné, nous pouvons montrer que l’ensemble est borné.