Les fonctions linéaires sont des concepts essentiels en algèbre et en calcul. Ces fonctions jouent un rôle important dans de nombreux domaines mathématiques et scientifiques, notamment la physique, l’ingénierie, l’économie et les statistiques. Dans cet article, nous définirons les fonctions linéaires, nous les comparerons aux fonctions affines et nous verrons comment les reconnaître et les analyser.
Une fonction linéaire est une fonction mathématique dont le taux de variation ou la pente est constant. Il s’agit d’une fonction de la forme f(x) = mx + b, où m est la pente ou le taux de variation, et b est l’ordonnée à l’origine de la ligne. La pente représente le degré d’inclinaison ou d’aplatissement de la ligne, tandis que l’ordonnée à l’origine détermine l’intersection de la ligne avec l’axe des ordonnées.
Par exemple, f(x) = 2x + 3 est une fonction linéaire avec une pente de 2 et une ordonnée à l’origine de 3. Cette fonction représente une ligne droite sur un graphique, où chaque augmentation de x de 1 entraîne une augmentation de y de 2. Graphiquement, elle se présente comme suit :
Qu’est-ce qu’une fonction affine ?
Une fonction affine est une forme plus générale de fonction linéaire. Il s’agit d’une fonction de la forme f(x) = mx + b + c, où m est la pente, b est l’ordonnée à l’origine et c est un décalage constant. Contrairement à une fonction linéaire, la pente et l’ordonnée à l’origine d’une fonction affine peuvent changer et ne pas passer par l’origine.
Par exemple, f(x) = 2x + 3 + 1 est une fonction affine avec une pente de 2, une ordonnée à l’origine de 3 et un décalage constant de 1. Cette fonction représente une ligne droite sur un graphique qui coupe l’axe des ordonnées à 4, et non à l’origine. Graphiquement, elle se présente comme suit :
Comment savoir si une fonction est constante, affine ou linéaire ?
Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = mx + b + c, où c est une constante. C’est une droite de pente m et d’ordonnée b.
Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine, où c = 0. C’est une droite de pente m et d’ordonnée b qui passe par l’origine.
Par exemple, f(x) = 3 est une fonction constante, f(x) = 2x + 3 est une fonction affine et f(x) = 2x – 1 est une fonction linéaire.
Pour déterminer si un tableau représente une fonction linéaire, vous pouvez vérifier si les différences entre les valeurs y sont proportionnelles aux différences entre les valeurs x. Si les différences des valeurs y sont constantes ou ont un rapport constant avec les différences des valeurs x, alors la fonction est linéaire.
|x | y |
|—|—|
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| 3 | 7 |
| 4 | 9 |
Les différences entre les valeurs y sont respectivement de 2, 2 et 2, ce qui est proportionnel aux différences entre les valeurs x de 1, 1 et 1. Par conséquent, la fonction est linéaire et nous pouvons l’écrire sous la forme f(x) = 2x + 1.
En conclusion, les fonctions linéaires sont des concepts importants en mathématiques qui représentent des taux de changement constants. Elles sont un cas particulier de fonctions affines et leur caractéristique principale est qu’elles passent par l’origine. Pour déterminer si une fonction est linéaire, il faut vérifier si elle présente un taux de variation constant ou une différence proportionnelle entre ses variables. La compréhension des fonctions linéaires est essentielle dans de nombreux domaines, car elles représentent des relations fondamentales entre les variables et peuvent nous aider à faire des prédictions et à résoudre des problèmes.