En statistique, la régression linéaire par les moindres carrés ordinaires (MCO) est une méthode utilisée pour analyser la relation linéaire entre deux variables. Il s’agit d’une technique statistique qui nous permet de prédire la valeur de la variable dépendante, Y, à l’aide de la variable indépendante, X. La méthode de régression MCO est l’une des techniques les plus couramment utilisées en statistique et est largement appliquée dans divers domaines tels que la finance, l’économie, la biologie et l’ingénierie.
Un ajustement affiné est nécessaire pour s’assurer que le modèle capture avec précision la relation entre les deux variables. En d’autres termes, un ajustement affiné est un modèle qui comporte le moins d’erreur possible dans la prédiction de la variable dépendante. L’erreur dans le modèle est mesurée à l’aide de la somme des carrés résiduels (RSS), qui est la différence entre la valeur prédite et la valeur réelle. La méthode des MCO vise à minimiser la somme des carrés résiduels et à fournir le meilleur ajustement possible aux données.
Avant d’effectuer la régression par les MCO, il est essentiel de calculer les valeurs de X et Y. La valeur de X représente la variable indépendante, tandis que la valeur de Y représente la variable dépendante. Les valeurs de X et Y sont généralement obtenues en collectant des données à partir d’expériences ou d’observations. Une fois les données obtenues, les valeurs de X et Y peuvent être calculées à l’aide des formules suivantes :
Yi = (Yi – Ȳ)
Où Xi représente la ième valeur de la variable indépendante, X̄ représente la moyenne de la variable indépendante, Yi représente la ième valeur de la variable dépendante, et Ȳ représente la moyenne de la variable dépendante.
Qu’est-ce qu’un estimateur sans biais ?
Un estimateur sans biais est une mesure statistique qui fournit une estimation précise du paramètre de population. Dans le cas d’une régression par MCO, l’estimateur sans biais est le coefficient de détermination, R². Le R² mesure la proportion de la variation de la variable dépendante qui est expliquée par la variable indépendante. Une valeur de R² proche de 1 indique que le modèle est bien adapté aux données.
Comment vérifier l’homoscédasticité ?
L’homoscédasticité est une hypothèse statistique selon laquelle la variance des résidus est constante pour toutes les valeurs de la variable indépendante. Pour vérifier l’homoscédasticité, on peut tracer les résidus par rapport aux valeurs prédites de la variable indépendante. Si le graphique montre une répartition égale des résidus pour toutes les valeurs de la variable indépendante, l’hypothèse d’homoscédasticité est satisfaite. Dans le cas contraire, l’hypothèse d’homoscédasticité n’est pas respectée et le modèle n’est peut-être pas bien adapté aux données.
Pourquoi utiliser les MCO ?
Les MCO sont une méthode statistique largement utilisée car elle est relativement facile à comprendre et à mettre en œuvre. Elle constitue un moyen simple et direct d’analyser la relation entre deux variables et de faire des prédictions. En outre, les MCO fournissent une mesure de la qualité de l’ajustement, qui permet d’évaluer la précision du modèle. Les MCO sont également très flexibles et peuvent être appliqués dans différents domaines d’étude. Dans l’ensemble, les MCO sont un outil puissant qui peut aider à comprendre les relations complexes entre les variables et à prendre des décisions éclairées.
Un estimateur efficace est un estimateur qui atteint la variance la plus faible possible parmi tous les estimateurs sans biais d’un paramètre de population. En d’autres termes, un estimateur efficace est celui qui fournit l’estimation la plus précise du paramètre de la population sur la base d’un échantillon donné. L’estimateur des moindres carrés ordinaires (MCO) utilisé dans la régression linéaire est un estimateur efficace sous certaines hypothèses, telles que la linéarité, l’homoscédasticité et l’indépendance des erreurs. Les MCO sont largement utilisés dans la modélisation statistique et l’analyse des données en raison de leur simplicité et de leur efficacité dans l’estimation des coefficients de régression.