Les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être exprimés sous la forme d’une fraction de deux nombres entiers. Autrement dit, ce sont des nombres qui ont une expansion décimale infinie, non périodique et non répétitive. Les nombres irrationnels sont donc des nombres réels qui ne peuvent pas être écrits sous la forme d’une fraction simple.
La plupart des nombres que nous utilisons tous les jours sont des nombres rationnels, c’est-à-dire qu’ils peuvent être exprimés sous la forme d’une fraction. Par exemple, 2/3, 1/2, 3/4 sont tous des nombres rationnels. En revanche, les nombres qui ne peuvent pas être exprimés sous cette forme sont appelés des nombres irrationnels.
Un exemple célèbre de nombre irrationnel est le nombre pi (π), qui est défini comme le rapport entre la circonférence et le diamètre d’un cercle. Un autre exemple est le nombre d’or (φ), qui est le rapport entre la longueur d’un segment divisé en deux parties inégales et la plus grande des deux parties.
On peut facilement vérifier si un nombre est rationnel ou irrationnel en essayant de l’écrire sous la forme d’une fraction. Si c’est possible, alors le nombre est rationnel, sinon il est irrationnel. Par exemple, le nombre 2 peut être écrit sous la forme d’une fraction, car 2 = 2/1. Par conséquent, 2 est un nombre rationnel.
L’ensemble des nombres entiers est l’ensemble Z. Cet ensemble comprend tous les nombres positifs, négatifs et zéro. Les nombres rationnels et irrationnels font tous partie de l’ensemble des nombres réels, qui est noté R.
En conclusion, les nombres irrationnels sont des nombres réels qui ne peuvent pas être exprimés sous la forme d’une fraction de deux nombres entiers. Les nombres rationnels, quant à eux, peuvent être exprimés sous cette forme. Les nombres d’or et pi sont des exemples célèbres de nombres irrationnels. Pour déterminer si un nombre est rationnel ou irrationnel, il suffit de vérifier s’il peut être écrit sous la forme d’une fraction.
Oui, 25 est un nombre rationnel car il peut être représenté sous la forme d’une fraction où le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers et le dénominateur n’est pas égal à zéro. En l’occurrence, 25 peut s’écrire comme la fraction 25/1.
Pour démontrer que la racine carrée de 3 est irrationnelle, on peut utiliser une preuve par l’absurde. Supposons que la racine carrée de 3 est rationnelle, ce qui signifie qu’elle peut s’écrire sous forme d’une fraction irréductible p/q, où p et q sont des entiers relatifs non nuls et sans facteur commun. En élevant les deux côtés de cette équation au carré, on obtient 3 = p^2/q^2, ce qui implique que p^2 = 3q^2. Cela signifie que p est un multiple de 3, donc p^2 est un multiple de 9. Puisque p^2 = 3q^2, cela implique que q^2 est également un multiple de 3, donc q est un multiple de 3. Mais cela contredit l’hypothèse selon laquelle p/q est une fraction irréductible, car p et q ont un facteur commun de 3. Par conséquent, la racine carrée de 3 ne peut pas être représentée sous forme d’une fraction irréductible et est donc un nombre irrationnel.
Non, la racine de 2 n’est pas un nombre rationnel car il ne peut pas être exprimé comme le quotient de deux nombres entiers. Il est en fait un nombre irrationnel.