Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas être exprimé comme quotient de deux nombres entiers. Autrement dit, un nombre irrationnel ne peut pas s’écrire sous forme de fraction. Les nombres irrationnels appartiennent à l’ensemble des nombres réels et sont souvent représentés par des décimales infinies et non périodiques.
Un exemple de nombre irrationnel est √3. Pour démontrer que √3 est irrationnel, on peut utiliser la méthode de la preuve par l’absurde. Supposons que √3 soit rationnel, c’est-à-dire qu’il puisse s’écrire sous la forme d’une fraction a/b où a et b sont des entiers premiers entre eux. On peut alors élever les deux côtés de cette équation au carré pour obtenir 3 = a^2/b^2. En multipliant les deux côtés par b^2, on obtient a^2 = 3b^2. On peut alors en déduire que a est un multiple de 3. En effet, si a n’était pas un multiple de 3, alors a^2 ne serait pas divisible par 3, ce qui contredirait l’égalité précédente. On peut donc écrire a = 3k où k est un entier. En remplaçant a par 3k dans l’équation a^2 = 3b^2, on obtient 3k^2 = b^2. On en déduit que b est également divisible par 3. Cette conclusion contredit l’hypothèse de départ selon laquelle a et b sont premiers entre eux. On peut donc conclure que √3 est irrationnel.
Un nombre entier n’a pas de partie décimale. En effet, la partie décimale d’un nombre correspond à la partie fractionnaire de sa représentation décimale. Par exemple, la partie décimale de 3,14 est 0,14. Comme les nombres entiers sont des nombres entièrement composés de chiffres entiers, ils n’ont donc pas de partie décimale.
1/3 est un nombre rationnel. En effet, il peut s’écrire sous la forme d’une fraction 1/3 = 0,33333… où les chiffres 3 se répètent à l’infini. Cette représentation décimale peut être écrite sous forme de fraction en utilisant la formule des séries géométriques : 1/3 = 3/(10+1) = 3/11.
7 est un nombre rationnel. En effet, il peut s’écrire sous la forme d’une fraction 7/1. Tous les entiers peuvent être écrits sous forme de fraction où le dénominateur est égal à 1. Les nombres rationnels comprennent donc tous les entiers, tous les nombres décimaux finis ou périodiques, ainsi que toutes les fractions qui peuvent être exprimées sous forme de quotient de deux entiers.
En français, on appelle un chiffre sans virgule un entier.
La principale différence entre un nombre rationnel et un nombre irrationnel est que les nombres rationnels peuvent être exprimés sous forme de fractions (quotients de nombres entiers), tandis que les nombres irrationnels ne peuvent pas être exprimés sous forme de fractions et ont une expansion décimale infinie et non périodique. En d’autres termes, un nombre rationnel peut être écrit sous la forme a/b où a et b sont des nombres entiers, tandis qu’un nombre irrationnel ne peut pas être écrit de cette manière.
L’ensemble Z est l’ensemble des nombres entiers relatifs, c’est-à-dire l’ensemble des nombres entiers positifs, négatifs et zéro.
Un nombre non décimal est un nombre qui n’est pas exprimé en base 10 avec une virgule et des chiffres décimaux. Par exemple, un nombre non décimal peut être exprimé en base 2 (système binaire) ou en base 16 (système hexadécimal). Les nombres irrationnels, tels que pi (∏) et racine carrée de 2, sont également des exemples de nombres non décimaux.
1/3 est un nombre rationnel qui peut être écrit sous forme de fraction avec 1 comme numérateur et 3 comme dénominateur. Sa forme décimale est 0,33333333… et il peut être écrit comme une fraction décimale infinie répétitive de la forme 0,3(3).
On appelle un chiffre sans virgule un entier.