Les nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être exprimés sous forme de fraction, c’est-à-dire qu’ils peuvent s’écrire comme le rapport de deux entiers. Un nombre rationnel peut être positif, négatif ou nul. On peut également dire que les nombres décimaux finis ou périodiques sont des nombres rationnels. Par exemple, 1/2, 2/3, -3/4, 0 et 0,25 sont tous des nombres rationnels.
Comment savoir si un nombre est rationnel ou décimal ? Pour déterminer si un nombre est rationnel ou décimal, il suffit de regarder s’il peut s’écrire sous forme de fraction. Si c’est le cas, alors le nombre est rationnel. Si le nombre ne peut pas être exprimé comme le rapport de deux entiers, alors il est décimal mais pas nécessairement rationnel. Par exemple, pi et e sont des nombres décimaux qui ne sont pas rationnels.
Comment prouver qu’un nombre n’est pas rationnel ? Pour prouver qu’un nombre n’est pas rationnel, il faut montrer qu’il ne peut pas être exprimé sous forme de fraction. Par exemple, la racine carrée de 2 est un nombre qui ne peut pas être écrit sous forme de fraction. Si on suppose que racine carrée de 2 est un nombre rationnel, alors on peut l’écrire sous forme de fraction a/b où a et b sont des entiers premiers entre eux. En élevant au carré des deux côtés de l’égalité, on obtient 2 = a^2/b^2. Cela implique que 2b^2 = a^2, c’est-à-dire que a^2 est pair. Or, si a^2 est pair, alors a est pair. En remplaçant a par 2k (où k est un entier), on obtient 2b^2 = 4k^2, c’est-à-dire b^2 = 2k^2. Cela implique que b^2 est pair, donc que b est pair. Mais cela contredit notre hypothèse selon laquelle a et b sont premiers entre eux. Par conséquent, la racine carrée de 2 n’est pas un nombre rationnel.
Comment prouver que la racine de 2 n’est pas rationnel ? Comme expliqué précédemment, on peut prouver que la racine carrée de 2 n’est pas un nombre rationnel en supposant le contraire et en arrivant à une contradiction. Cette preuve est appelée la preuve par l’absurde. Elle montre que la racine carrée de 2 ne peut pas être écrit sous forme de fraction et qu’elle est donc un nombre irrationnel.
Pour démontrer que la racine de 5 est irrationnelle, on peut utiliser la preuve par l’absurde. On suppose que la racine de 5 est un nombre rationnel, donc qu’elle peut s’écrire sous forme de fraction irréductible p/q où p et q sont des entiers premiers entre eux. En élevant les deux membres au carré, on obtient que 5 est égal à p²/q², ce qui implique que p² est égal à 5q². Puisque 5 est un nombre premier, cela signifie que p doit être un multiple de racine de 5 et donc que p² est un multiple de 5. Cependant, si p est un multiple de 5, alors p² est un multiple de 25, ce qui implique que q² doit également être un multiple de 5. Ainsi, p et q ont un facteur commun, ce qui contredit notre hypothèse selon laquelle p et q sont des entiers premiers entre eux. Par conséquent, notre supposition initiale est fausse et la racine de 5 est un nombre irrationnel.
Oui, 5 est un nombre rationnel car il peut être représenté sous la forme d’une fraction où le numérateur est un entier et le dénominateur est différent de zéro. Dans ce cas, on peut écrire 5 comme la fraction 5/1.
Oui, 2/3 est un nombre rationnel car il peut être exprimé comme le quotient de deux nombres entiers, à savoir 2 et 3.