Les nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être exprimés sous forme de fractions, c’est-à-dire sous la forme p/q, où p et q sont des nombres entiers et q est différent de zéro. L’ensemble des nombres rationnels est noté Q. Ainsi, un nombre est rationnel s’il peut être écrit sous forme de fraction.
L’ensemble Z, quant à lui, correspond à l’ensemble des nombres entiers relatifs, c’est-à-dire des nombres positifs et négatifs, y compris zéro. Il est noté Z. Par conséquent, tout nombre rationnel peut être écrit comme un nombre entier ou une fraction.
Pour répondre à la question « Est-ce-que 1/3 est rationnel ? », la réponse est oui, car 1/3 peut être écrit sous forme de fraction. En effet, 1/3 est égal à 0,3333… en décimal, mais cela ne change pas le fait qu’il est rationnel.
Pour démontrer qu’un nombre n’est pas rationnel, il est possible d’utiliser des suites adjacentes. Une suite adjacente est une suite de nombres réels qui se rapprochent d’un nombre irrationnel donné. Par exemple, pour démontrer que la racine carrée de 2 est irrationnelle, on peut utiliser une suite adjacente de la forme (1, 1.4, 1.41, 1.414, …). Cette suite se rapproche de la racine carrée de 2, mais ne l’atteint jamais. Par conséquent, la racine carrée de 2 est irrationnelle.
La racine carrée de 3 est également un nombre irrationnel. Pour le démontrer, on peut utiliser une suite adjacente de la forme (1, 1.7, 1.73, 1.732, …). Encore une fois, cette suite se rapproche de la racine carrée de 3, mais ne l’atteint jamais. Par conséquent, la racine carrée de 3 est irrationnelle.
Enfin, la raison pour laquelle la racine de 3 n’appartient pas à Q est que si elle était rationnelle, elle pourrait être écrite sous forme de fraction. Cependant, comme nous l’avons démontré précédemment, la racine de 3 est irrationnelle. Par conséquent, elle ne peut pas être écrite sous la forme p/q, où p et q sont des nombres entiers et q est différent de zéro.
Pour démontrer que la racine carrée de 5 est irrationnelle, on peut utiliser une preuve par l’absurde. On suppose que la racine carrée de 5 est rationnelle, c’est-à-dire qu’elle peut être écrite sous la forme d’une fraction irréductible a/b, où a et b sont des entiers premiers entre eux. En élevant les deux membres de cette équation au carré, on obtient 5 = a^2/b^2. On peut alors réarranger cette équation pour obtenir a^2 = 5b^2. Cela signifie que a^2 est un multiple de 5, et donc que a est lui-même un multiple de 5. On peut alors écrire a = 5k, où k est un entier. En substituant cette expression dans l’équation a^2 = 5b^2, on obtient (5k)^2 = 5b^2, c’est-à-dire 25k^2 = 5b^2. On divise alors les deux membres de cette équation par 5, ce qui donne 5k^2 = b^2. Cela signifie que b^2 est un multiple de 5, et donc que b est lui-même un multiple de 5. Or, cela contredit notre hypothèse de départ selon laquelle a et b sont premiers entre eux. On en conclut donc que la racine carrée de 5 ne peut pas être écrite sous la forme d’une fraction a/b, et donc qu’elle est irrationnelle.
La racine carrée de 4 est 2.
La racine carrée de 8 est 2√2.
Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas être exprimé sous la forme d’une fraction de deux entiers relatifs. Un exemple de nombre irrationnel est la racine carrée de 2 (√2).
Pour démontrer qu’un nombre n’est pas rationnel en utilisant des suites adjacentes, on peut utiliser la méthode de la preuve par l’absurde. On suppose que le nombre est rationnel, puis on construit deux suites adjacentes qui convergent toutes les deux vers ce nombre supposé rationnel. Si ces deux suites ne sont pas équivalentes, alors le nombre ne peut pas être rationnel, car un nombre rationnel admet une unique suite convergente. Donc, si les deux suites sont différentes, cela prouve que le nombre n’est pas rationnel.
La démonstration que la racine de 5 est irrationnelle se fait par l’absurde. Supposons que la racine de 5 soit un nombre rationnel, c’est-à-dire qu’il peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible a/b, où a et b sont deux entiers premiers entre eux. En élevant les deux membres de cette égalité au carré, on obtient que 5 = a^2/b^2. Cela implique que a^2 = 5b^2. Comme 5 est premier, cela signifie que a est divisible par 5. Donc, on peut écrire a = 5k, où k est un entier. En remplaçant a par 5k dans l’équation précédente, on obtient que 25k^2 = 5b^2, soit b^2 = 5k^2. Cela implique que b est aussi divisible par 5, ce qui contredit le fait que a et b sont premiers entre eux. Donc, la racine de 5 ne peut pas être un nombre rationnel et est donc irrationnelle.