Les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés sous forme de fraction. Ils sont souvent désignés comme étant des nombres qui ne peuvent pas être exprimés comme quotient de deux entiers relatifs. Ces nombres ont été découverts pour la première fois par les Pythagoriciens qui ont réalisé que la racine carrée de 2 était un nombre qui ne pouvait pas être exprimé comme quotient de deux entiers relatifs.
Un nombre rationnel est un nombre qui peut être représenté sous forme de fraction. Par conséquent, 25 est un nombre rationnel car il peut être exprimé comme quotient de deux entiers relatifs, à savoir 25/1.
L’ensemble Z, également appelé ensemble des entiers relatifs, est l’ensemble de tous les nombres entiers positifs et négatifs, ainsi que le zéro. Il est souvent représenté par la lettre Z majuscule. Par conséquent, l’ensemble Z est constitué des nombres 0, ±1, ±2, ±3, etc.
Pour savoir si un nombre est irrationnel, il faut vérifier s’il peut être représenté sous forme de fraction. S’il peut être représenté sous forme de fraction, alors il est un nombre rationnel. Sinon, il est un nombre irrationnel.
Il existe plusieurs méthodes pour montrer qu’un nombre est irrationnel. L’une des méthodes les plus courantes est de supposer que le nombre est rationnel, puis de mener une preuve par l’absurde pour montrer que cette hypothèse est fausse. Par exemple, pour montrer que la racine carrée de 2 est irrationnelle, on peut supposer qu’elle est rationnelle, puis montrer que cela conduit à une contradiction.
Non, la racine carrée de 2 est un nombre irrationnel. On peut le montrer en utilisant la méthode de la preuve par l’absurde. Supposons que la racine carrée de 2 est rationnelle. Cela signifie qu’elle peut être représentée sous forme de fraction, c’est-à-dire qu’il existe deux entiers relatifs a et b tels que √2 = a/b. En élevant au carré, on obtient 2 = a^2 / b^2. Cela signifie que a^2 est pair, donc a est pair. Par conséquent, on peut écrire a = 2k pour un certain entier k. En remplaçant a par 2k dans l’équation précédente, on obtient 2 = 4k^2 / b^2, ce qui implique que b^2 est pair, donc que b est pair. Mais cela contredit le fait que a et b n’ont pas de facteurs communs, car ils sont tous deux pairs. Par conséquent, la racine carrée de 2 ne peut pas être représentée sous forme de fraction et est donc un nombre irrationnel.
La racine carrée de 2 est un nombre irrationnel qui ne peut pas être exprimé sous forme de fraction et dont les décimales sont infinies et non périodiques. Sa valeur approximative est 1,41421356.
Pour démontrer l’irrationalité de la racine de 2, on peut utiliser la méthode de la preuve par l’absurde. On suppose que la racine de 2 est un nombre rationnel, c’est-à-dire qu’elle peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible a/b, où a et b sont des entiers relatifs et b est non nul. Ensuite, on élève cette équation au carré et on obtient que 2 = a^2/b^2. On peut alors multiplier les deux membres de l’équation par b^2 pour obtenir que 2b^2 = a^2. Cela signifie que a^2 est pair, donc a est pair (car le carré d’un nombre impair est impair et le carré d’un nombre pair est pair). On peut donc écrire a = 2c, où c est un entier relatif. En substituant cette expression dans l’équation 2b^2 = a^2, on obtient 2b^2 = 4c^2, soit b^2 = 2c^2. Cela signifie que b^2 est pair, donc b est pair. Mais cela contredit le fait que la fraction a/b soit irréductible, car a et b ont un facteur commun de 2. On peut donc conclure que la racine de 2 est un nombre irrationnel.
Oui, 10 est un nombre rationnel car il peut être exprimé sous forme de fraction, à savoir 10/1.