Les mathématiques ont une importance majeure dans notre vie quotidienne. Les nombres rationnels et irrationnels sont deux termes qui appartiennent au champ de l’arithmétique. Dans cet article, nous examinerons la nature des nombres 5, les ensembles Z et ℕ, la relation entre ces deux ensembles et la nature des nombres irrationnels.
Tout d’abord, un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé sous la forme d’une fraction, où le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers, et le dénominateur est différent de zéro. Par exemple, 5 peut être écrit comme 5/1, ou 10/2, ou encore 15/3. Par conséquent, 5 est un nombre rationnel.
Ensuite, l’ensemble Z est l’ensemble des nombres entiers relatifs, qui comprend tous les nombres entiers positifs et négatifs, y compris le zéro. Par exemple, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 sont des nombres de l’ensemble Z. D’autre part, l’ensemble ℕ est l’ensemble des nombres entiers naturels, qui comprend tous les nombres entiers positifs, à l’exclusion de zéro. Par conséquent, les nombres 1, 2, 3, 4, … sont des nombres de l’ensemble ℕ.
Est-ce que Z est inclus dans ℕ ? La réponse est non. Bien que Z et ℕ soient tous deux des ensembles de nombres entiers, ils ont des éléments différents. L’ensemble ℕ est un sous-ensemble de l’ensemble Z, car tous les nombres naturels sont des entiers relatifs, mais l’inverse n’est pas vrai.
Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas être exprimé sous forme de fraction de nombres entiers. Par exemple, π est un nombre irrationnel car il ne peut pas être exprimé sous forme de fraction. Un autre exemple est √ 3. Comment démontrer que √ 3 est irrationnel ? On peut le faire par l’absurde. Supposons que √ 3 est un nombre rationnel et peut être exprimé sous forme de fraction. Donc, √ 3 = a/b, où a et b sont des nombres entiers premiers entre eux. En élevant les deux côtés au carré, nous obtenons 3 = a²/b², ou a² = 3b². Cela signifie que a² est divisible par 3. Cela implique que a est divisible par 3. Cependant, cela contredit l’hypothèse selon laquelle a et b sont premiers entre eux. Par conséquent, notre hypothèse selon laquelle √ 3 est un nombre rationnel est fausse, et √ 3 est donc un nombre irrationnel.
En conclusion, 5 est un nombre rationnel. Les ensembles Z et ℕ sont des ensembles de nombres entiers différents, et Z n’est pas inclus dans ℕ. Les nombres irrationnels ne peuvent pas être exprimés sous forme de fraction de nombres entiers. √ 3 est un exemple de nombre irrationnel, et nous pouvons démontrer qu’il est irrationnel par l’absurde.
Un nombre est irrationnel s’il ne peut pas être exprimé comme une fraction de deux nombres entiers. Autrement dit, s’il n’existe pas de quotient de deux nombres entiers qui soit égal à ce nombre. Les nombres irrationnels sont souvent représentés sous forme de nombres décimaux non périodiques, comme π ou √2.
Pour montrer que la racine de 10 est irrationnelle, on peut supposer que c’est un nombre rationnel et essayer de trouver une contradiction. On peut donc supposer que √10 = a/b où a et b sont des entiers premiers entre eux. En élevant au carré des deux côtés, on obtient 10 = a²/b². En multipliant par b², on obtient a² = 10b². Cela signifie que a² est divisible par 10, donc a est divisible par 10. On peut écrire a = 10k où k est un entier. En remplaçant a par 10k dans l’équation précédente, on obtient 10b² = (10k)², soit b² = 10k². Cela signifie que b² est divisible par 10, donc b est divisible par 10. Cela contredit le fait que a et b sont premiers entre eux, donc notre hypothèse de départ est fausse et la racine de 10 est bien un nombre irrationnel.
Un nombre est rationnel s’il peut être représenté sous forme de fraction, c’est-à-dire qu’il peut s’écrire comme le quotient de deux entiers. Pour prouver qu’un nombre est rationnel, il suffit de montrer qu’il peut être écrit sous cette forme. Par exemple, le nombre 3/4 est un nombre rationnel car il peut être écrit comme le quotient de 3 et 4, tous deux des entiers.